Вещественный поиск

Когда ответ — вещественное число, шаблон остаётся тем же, но условие остановки меняется. Здесь делают ошибку, которая не проявляется на маленьких тестах и потому доживает до закрытых.

Так делать не надо

while (high - low > 1e-9) {   // цикл может не закончиться никогда
    double mid = (low + high) / 2;
    ...
}

У чисел с плавающей точкой точность относительная, а не абсолютная. Рядом с нулём соседние представимые числа отличаются на ничтожную величину, а рядом с $10^{10}$ — примерно на $2 \cdot 10^{-6}$.

Значит, если границы порядка $10^{10}$, разность high - low никогда не станет меньше $10^{-9}$: она упрётся в шаг сетки представимых чисел и перестанет убывать. Цикл будет крутиться, пока не кончится время.

Коварство в том, что при малых значениях всё работает. Примеры из условия обычно малы.

Так надо

for (int step = 0; step < 200; step++) {
    double mid = (low + high) / 2;
    if (check(mid)) high = mid;
    else low = mid;
}

Фиксированное число шагов. Каждый делит промежуток пополам, сто шагов уменьшают его в $2^{100}$ раз — несопоставимо меньше того, что вообще различает double. Двести шагов стоят двести вычислений check, то есть практически нисколько.

Такой цикл нельзя зациклить, он не зависит от масштаба чисел, и в нём нечего настраивать.

Сколько шагов брать

Промежуток длины $R$ после $k$ шагов имеет длину $R / 2^k$. Если нужна точность $10^{-6}$ при $R = 10^{10}$, требуется $\log_2(10^{16}) \approx 54$ шага.

Брать с запасом дёшево: 100 шагов покрывают любой разумный случай, 200 — вообще любой. Единственная причина считать точно — если check очень дорогая.

Точность ответа и точность вывода

Если условие обещает проверку с точностью $10^{-6}$, печатать надо больше знаков, чем требуется: девять после точки достаточно всегда.

printf("%.9f\n", answer);
cout << fixed << setprecision(9) << answer << "\n";

В Python — print(f"{answer:.9f}"). Обычный print для float даёт представление, которого проверяющей программе может не хватить.

Про верхнюю границу

Её стоит выводить из условия, а не брать «побольше». В задаче «найти $x$, при котором $x^2 + \sqrt{x} = C$» при $C \le 10^{10}$ ответ не превосходит $10^5$: иначе уже $x^2$ вылезет за $C$. Взять границей сам $C$ формально можно, но это лишние шаги и лишние проблемы с точностью на больших числах.

Когда вещественного поиска можно избежать

Часто задача с вещественным ответом сводится к целочисленной. «Максимальная длина куска» при целых длинах — это целое число сантиметров; «минимальное время» при целых скоростях — целое число секунд.

Целочисленный поиск проще: у него честное условие остановки, нет накопления погрешности и не надо думать про формат вывода. Если ответ можно сделать целым — сделайте.