Замечательные точки треугольника

Биссектриса, вписанная и описанная окружности, центр масс. Четыре формулы, которые выводятся, а не запоминаются.

2 мин

Школьные построения циркулем в программе не нужны: у каждой замечательной точки есть формула в координатах.

Биссектриса угла

Биссектриса угла с вершиной $X$ и лучами на $Y$ и $Z$ идёт по направлению суммы единичных векторов:

\vec{d} = \frac{\vec{XY}}{|\vec{XY}|} + \frac{\vec{XZ}}{|\vec{XZ}|}.

Почему так: сумма двух единичных векторов — диагональ ромба, а диагональ ромба делит его угол пополам.

Если сложить не единичные, а исходные векторы, длины перекосят направление. Насколько сильно — видно на примере $X = (0,0)$ , $Y = (10,0)$ , $Z = (0,1)$ : сумма исходных векторов даёт направление $(10, 1)$ , которое делит прямой угол на 5,71° и 84,29° вместо 45° и 45°.

Point d = normalized(Y - X) + normalized(Z - X);
Line bisector = lineThrough(X, X + d);

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис) выражается через длины сторон как взвешенное среднее вершин:

I = \frac{a\,A + b\,B + c\,C}{a + b + c},

где $a = |BC|$ , $b = |CA|$ , $c = |AB|$ — стороны, противолежащие вершинам. Радиус равен $r = S / p$ , где $S$ — площадь, а $p$ — полупериметр.

Это и есть ответ на задачу «привязать козла в треугольном огороде так, чтобы площадь выпаса была наибольшей»: наибольший круг, помещающийся в треугольник, — вписанный.

Описанная окружность

Центр описанной — точка пересечения серединных перпендикуляров. В координатах, если перенести начало в $A$ и обозначить $\vec{b} = B - A$ , $\vec{c} = C - A$ :

O = A + \frac{1}{2\,[\vec{b}, \vec{c}]}\bigl(\,|\vec{c}|^2 \cdot \vec{b}^{\perp} - |\vec{b}|^2 \cdot \vec{c}^{\perp}\,\bigr),

где $\vec{v}^{\perp} = (-v_y, v_x)$ , а $[\vec{b}, \vec{c}]$ — векторное произведение. Знаменатель равен нулю ровно тогда, когда точки лежат на одной прямой и окружности не существует.

Центр масс

Самая простая из четырёх: $M = (A + B + C)/3$ . Для многоугольника формула другая — центр масс вершин и центр масс площади не совпадают.

Что проверять в решении

точка	вырожденный случай	признак
биссектриса	$Y$ или $Z$ совпал с $X$	нулевая длина при нормировке
вписанная	точки на одной прямой	нулевая площадь
описанная	точки на одной прямой	нулевое векторное произведение
центр масс	нет	—